正八面体を見ると、ピラミッド形を上下に貼り付けた形である。ピラミッド形とは底面が正方形であるような四角錐である。まずその玉の数を数えてみよう。その頂点に玉が1個、そのすぐ下に4個、その下の段に9個あることがわかる。上から4段目には16個ある。ピラミッドの辺のながさをnとすると、底面の段はnの二乗個の玉がある。これらを全部足すと、
12+22+32+42+...+n2
個ある。これには平方数の和の公式があってn(n+1)(2n+1)/6になる。この公式を知らなくても、高校までの数学をまじめに勉強した人なら導き出せるだろう。
正八面体の玉の数は上側のピラミッドと下側のピラミッドの玉の数を合わせる。さらに真ん中の正方形は上下で2回数えたので引くと、
2・n(n+1)(2n+1)/6 －n2 = n(2n2+1)/3
になる。絵にもどると、くっついている三つの正八面体は辺の長さが、6、13、11である。さらに重なっている部分がある。6と13の正八面体が重なっている部分は、辺の長さが2の正八面体だ。13と11の正八面体が重なっている部分は、辺の長さが9の正八面体。
結局上の式に6、13、11を入れたものを足し、2、9を入れたものを引けばよく、
6×(2×62+1)/3 + 13×(2×132+1)/3 + 11×(2×112+1)/3
－2×(2×22+1)/3 －9×(2×92+1)/3
を計算すると2011になる。
